DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

una distribucion de frecuencia es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un experimento que se presentaron realmente cuando este se realizo mientras que una distribucion de probabilidad es un listado de probabilidades de todos los posibles resultados si el experimento se lleva a cabo
ESPACIO MUESTRAL DE DIVERSOS TIPOS DE EVENTO
ESPACIO MUESTRAL
conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se representa y se pueden enlistar de manera abreviada o explicita
pueden ser de 23 tipos
ESPACIO MUESTRAL DISCRETO
es aquel que muestra
ESPACIO MUESTRAL CONTINUO
cuando esta fomado por intervalo o conjunto de intevalo
EVENTO
es cualquier elemento o subonjunto perteneciente al espacio muestral(m) hay varios tipos de evento
evento simple
evento aleatorio
evento compuesto
evento seguro
evento imposible
TIPOS DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
al igual que las variables aleatorias se clasifican en continuas y discretas en la distribucion de posibilidad discreta se puede tomar un num limitado de valores

MODA

Es la medida que se define como el valor que mas se repitew en una variable
la moda se representa como Mo

MEDIA
donde "n" es el total de datos
m es el num total de clases
f: frecuencia de datos

MEDIANA
md: mediana
li: limite inferior
n: num de onservaciones

FACUM: frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano
FMEDIANA: frecuencia de intervalo mediano
A: amplitud


HISTOGRAMA: utiliza datos cuantitativos se conpone de rectangulos verticales unidos entre si donde sus lados son limites reales inferior y superior
POLIGONO DE FRECUENCIA: consiste en una serie de sgmentos que unen los puntos cuyas absisas son los valores centrales de cada clase

GRAFICA CIRCULAR: se forma al dividir un circulo en sectores circulares de manera que:
*cada sector equivale al porcentaje correspondiente al datoo grupo que representa
*la union de los sectores circulares forma el circulo y la suma de sus porcentajes es 100
PICTOGRAMA: se utiliza un dibujo relacionado con el tema para representar cierta cantidad de frecuencias .
POLIGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA: una grafica de distribucion de frecuencias acumuldas se llama ojiva

MEDIDAS DE DISPERCION
se utilizan para reconocer como estan distribuidos los datos.
la dispercion sirve para medir que tan alejado esta entre si un conjunto de valores entre mas elejados esten los valores unos de los otros la poblacion heterogenea en caso contrario homogenea
RANGO: es la medida de dispercion mas censilla y menos estable el rango es la dif entre el lado mayor y el dato menor
ej.
calcula el rango de
8,6,2,4,5,6,7,8,9
R=7

DESVIACION ESTANDAR

se define como la raiz cuadrada de los cuadrados de las desviaciones de os valores de la variable respecto a su media.

VARIANZA:
nos permite conocer la disperio de los valores de una muestra respecto a su media aritmetica y se define como el cuadrado de la desviacion estandar

ELEBORACION E INTERPRETACION DE GRAFICAS DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS

DERECHO
COMUNICACION
DISEÑO
MEDICINA

la estadistica se divide en
DESCRIPTIVA: presenta la informacion y util
INFERENCIAL: se ocupa de la generalisacion de esa informacion hacien deducciones de las poblaciones basandose en muestras tomadas de ellas.

cuando los datos son cuantitativos se ordenan en orden descendente d menor a mayor cuando los datos son cualitativos se organizan en orden alfabetico

cuando los datos cauntitativos tienen mas de 15 valores se recomienda resumir la informacion para eso se acomodan en grupos que se llaman CLASE O INTERVALO DE CLASE.
el total de clases no debe ser mayor ni menor de 15

CARACTERIZTICAS DE LAS BASES PARA SU APLICACION

a los limites extremos de cada clase de les llama limite superior y limite inferior.


TIPOS DE FRECUENCIA

FRECUENCIA ACUMULADA: son las que resultan se sumar cada frecuencia de la clase continua superior
RECUENCIA RELATIVAS: son las que resultan de dividir cada frecuencia entre el num total de observaciones y multiplicar el resultado por 100 para obtenerlas en forma de porcentaje.
FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA: las que resultan de sumar cada frecuencia relativacon la frecuencia relativa de la clase cntinua superio tambien se pueden obtener dividiendo cada frecuencia acumulada entre el total de frecuencias por 100
RANGO: resulata de restarle
el lado menor al lado mayor
ESTATURA. 150-152


las graficas que se pueden utilizar en estadistica podemos dividirlas para variables cualitativas y cuantitativas

para las variables cualitativas
a) graficas de barras
b)histogramas
c) polignos de frecuencia
d)poligonos de frecuencia acumulada
e) poligonos de frecuencia relativa- acumulada

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (MEDIA MEDIANAMDA)
una de las caracteristicas mas importantes de la distribucion de dotos es su tendencia a acumularse hacia el centro de la misma esta caracteristica se denomina tendencia central las medidas de tendencia central mas usuales son
*MEDIA ARITMENTICA; la forma en que se obtiene el promedio es sumando todos los valores entre el numero de datos
MEDIA : X=X1+X2+X3...Xn/n
ejemplos 4+3+5+8+10+5+6+78

MEDIANA la mediana de un conjunto de valores ordenados jerarquicamente es aquel valor que divide al conjuntode dos partes iguales

para construir la mediana se deben seguir los criterios que se listan a continuacion.
* lo primero que se requiere es ordenar los datos de forma ascendente o descendente
*si el num de valores es impar la mediana es el valor medio el cual corresponde al dato
*cuando el num de valores en el conjunto es impar no existe un solo valor medio

ELEBORACION E INTERPRETACION DE GRAFICAS DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS

TAZAS

Escribe una razon 10kg de sal por $5 como taza unitaria ¿cuantos kg de sal puedes comprar con $12?
10kg/5$ 10/5 kg/pesos

dividiendo entre 5 2kg/1peso

escribe la razon $18.60 por 6 paletas como una taza ¿cual es el valor por paleta?
18.60$/6paletas 18.60/6 $/paletas 3.1/1paletas

INDICE

en una medida que informa acerca de ls cambios de valor que experimenta una variables o una magnitud en 2 situaciones una de las cuales se toma como referencia la comparacion generalmente se hace por mediode una divicion.
a la situacion inicial se le llama periodo base y la situacion que queremos comprar periodo actual o corriente.
j=Xt/Xo si X es una magnitud como representam,os con X0 el valor de la magnitud en el periodo base y con t el valor de la magnitud en el periodo que queremos estudiar

J= Xt/Xo
ejercicion
1) una mangera de agua expulsa 20 galones en 40 seg

20gal/40seg

2)un camion recorre 15 millas en 35 min

15 millas/35 min

3) un vehiculo de motor que recorre 700 millas consume 20 galones d gasolina

700 millas/gal

4) se repartieron 195 hojas a 39 estudiantes

195hojas/39estudiantes

5) se pueden pintar 40 paredes con 5 galones de pintura

40 paredes/5 galones

TAZAS

encuentra la medida de cada angulo interior los cuadrilateros ABCD si la medida de los angulos apropiadamente colocados es un numero concecutivo d G

ABCD g+2g+3g+4g=360º
10g=360
g=360/10
g=36 2g=36(2) 3g= 36(3) 4g=36(4)


calcula el numero ttal de diagonales que se pueden trazar en
a) angulo 3(3-3)/2=0/2=0
b)cuadrilatero 4(4-3)/2=4/2=2
c)pentagono 5(5-3)/2=10/2=5
d)hexagono686-3)/2=18/2=9


ESTADISTICA

ciencia que recoge ordena analiza e interpreta la informacion abtenida sobre un fenomeno en particular para conocer los hechos del pasado a fin de preveer el comportamiento futuro y tomar deciciones basads en la experiencia.

PASOS DE UN ESTUDIO ESTADISTICO

*plantear una hipotesis sobre la poblacion
*recoger datos ( que datos)
*recolectar los datos sin perturbar el muestreo
*describir ls datos obtenidos
*realizar una inferencia de la poblacion

POBLACION: conjunto sobre el cual estamos inteteresados en obtener conclusiones por ej. HABITANTES DE UNA CIUDAD AUTOMOVILES DE ALGUN ESTADO. normanlmente las poblaciones son muy grandes para poder estudiarles de forma directa por la cual se requiere una muestra.
MUESTRA : es un subconjunto de la poblacion al que tenemos acceso y sobre el cual se realizen las observacioes debe ser representada por mienbros seleccionados d la poblacion.
VARIABLE: es algo que nos interesa de una muestra pueden ser cualitativas o cuantitativas.
CUALITATIVAS: tiene una caracteristica de que no se pueden realizar operaciones algebraicas con ellas esta a su vez se dividen en NOMINAD Y ORDINALES.
NOMINALES: valores no ordenales
ORDINALES: valores ordenables
VALORES CUANTITATIVAS O NUMERICAS: pueden ser
DISCRETAD:aquellas variables que solamente se toman en numeros enteros
CONTINUAS: se dividen en dos medidas por razon
MEDIDAS POR RAZON: aquellas en las que tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellas
MEDIDAS DE ESCALA: aquellas que solo pueden sumar o restar

TAZAS E INDICES
Una taza es una razon entre dos magnitudes con distintas unidades
RENDIMIENTO DE UN AUTOMOVIL.
22.3/1 KM/LT

RELACIONES Y PROPIEDADES DE LOS ANGULOS EN POLIONOS REGULARES

CENTRAL: el centro de un poligono regular es el centro de su circunferencia circuncrita. S i el centro de un poligono regular se une con todas sus vertices, a cada lado se opondra un angulo que se llama angulo central.
INTERIOR: dos lados concecutivos de un poligono regular forman un anugulo interior.
EXTERIOR:en un poligo se prolongan sus lados en un mismo sentido, se forman entre estas prolongaciones y los lados del poligono angulos a los que se les llama exteriores.
SUMA DE ANGULOS CENTRALES: en un poligono regular la suma de sus angulos centrales es igual a 360º y como todos ellos miden lo mismo porque son congruentes la medida de uno cualquiera se ontiene dividiendo 360º entre el numero de angulos centrales es igual al numero de lados "n" de un poligono.

Ej de desviacion estandar.

encuentra la desviacion estandar y la varianza de la siguiente serie de numeros 2,3,5,6,8,10.

1) saco X la media.

X=2,3,5,6,8,10/6

X=5.67

2) (5.67-2)2=13.46

(5.67-3)2=7.12

(5.67-5)2=0.44

(5.67-6)2=0.10

(5.67-8)2=5.42

(5.67-10)2=18.74 = 45.28

desviacion estandar;

S=raiz 45.28/6 S=2.74

varianza S2= 7.54

Encuentra la desviacion estandar y la varianza para la siguiente:

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T62F)/Presentación1(T62F)_archivos/slide0003.htm

X=x1(f1)+x2(f2)+x3(f3)...../n

X=26.04

2(26.04-12.5)2=366-7

8(26.04-12.5)2=454.8

13(26.04-12.5)2=30.8

10(26.04-12.5)2=198.9

6(26.04-12.5)2=656.5

=1707.67

S=1707.67/39

S=6.61 Desviacion estandar

S2=43.73 Varianza

Medidas de Dispersion.

las medidas de dispersion se utilizan para reconocer como estan distribuidos los datos. La dispersion sirve para medir que tan alejado esta entre si un conjunto de valores, entre mas alejados esten los valores uno de otro las poblacion sera eterogenea en caso contrario sera omogenea.

RANGO:Es la media de dispersion mas sencilla y menos estable por lo tanto es la que menos usamos, el rango es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

R=Xmayor-Xmenor

ej: calcula el rango de

8,6,2,4,5,6,7,8,9 R=9-2 R=7

DESVIACION ESTANDAR: La desviacion estandar se define como la raiz cuadrada de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su medida.

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T1A)/Presentación1(T1A)_archivos/slide0003.htm

VARIANZA: es la medida que nos permite conocer la dispersion de los valores de una muentra respecto a su medida aritmetica y se define como el cuadrado de la desviacion estandar.

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T837)/Presentación1(T837)_archivos/slide0003.htm

Ejercicio de media y mediana.

Las calificaciones de Laura ene l primer bimestre son, matematicas 8, español 7, c. socilaes 10, c. naturales 6, civismo 9, geografia 8.

¿cual es el promedio de Laura?

X: x1+x2+x3+x4+x5+x6........xn /n

8+7+10+6+9+8=48/6

Promedio: 8

En una escuela rural se observa que las distancias recorridas en km por 15 alumnos de casa a la escuela son las siguientes:

x1=0.5 x5=5.1 x9= 2.5 x13=2

x2=1 x6=5.2 x10= 3 x14=2.7

x3=4.5 x7= 3.4 x11= 4.3 x15=4

x4=3.1 x8= 3.9 x12=1.4

si es impar:

X=xn+1/2

x1=0.5 x6=2.7 x11=4

x2=1 x7=3 x12=4.3

x3=1.4 x8=3.1 x13=4.5

x4=2 x9=3.4 x14=5.1

x5=2.5 x10=3.9 x15=5.2

X=xn+1/2

X=x15+1/2 =8

x8= 3.18

Triangulacion de Poligonos

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T1BB)/Presentación1(T1BB)_archivos/slide0003.htm

Clasificacion de los Poligonos

Los poligonos tienen angulos, tantos angulos como lados, dependiendo de la medida de estos, se pueden tener poligonos, cancavos o conversos.

Los poligonos conversos se caracterizan por que cualquier linea que una dos puntos del poligono queda contenida dentro de este.

Los poligonos concavos se caracterizan por que cualquier linea que una dos vertices del poligono NO se contendra dentro de este, es decir:

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(TD7E)/Presentación1(TD7E)_archivos/slide0003.htm

Los poligonos tienen lados y angulos, si un poligono,tiene todos sus lados y angulos iguales, entonces es un poligono regular.

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T773)/Presentación1(T773)_archivos/slide0003.htm

Propiedades de los Poligonos.

El poligono es una figura geometrica formada por segmentos de recta de modo que no se cruzan y solamente se tocan en los extremos, y en donde ningun par de segmentos con un extremo comun sean colineales.

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T27)/Presentación1(T27)_archivos/slide0003.htm

LADOS: son los segmentos de una recta que forman la frontera o poligono.

VERTICE: se llama asi a los puntos de interseccion de los lados de un poligono. Estos puntos nos permiten nombrar al poligono.

ANGULO INTERIOR: son aquellos formados por dos lados del poligono y su region angular queda en la region interior.

Angulo interior de un poligono regular de n lados se calcula mediante esta formula.

n-2(180/n) para calcular el angulo interior de un poligono regular.

ej: angulo interior de un octangulo

8-2(180/8) = 6(180/8) = 135

ANGULO EXTERIOR E INTERIOR: se midensobre la misma linea,asi que se suman 180. Por lo tanto, el angulo exterior es 180- el angulo interior

AE=180-angulo exterior

180-135=45º

DIAGONALES: son las lineas que van de un vertice a otro pero no son los lados.

El numero de diagonales es n(n-3)/2

ej: un cuadrado

D=4 ( 4-3 ) /2

D=4 (1) /2

D=2

CIRCUNFERENCIA EXTERIOR: se llama circunscrita (aveces tambien incirculo) y conecta los vertices del poligono.

CIRCUNFERENCIA INTERNA: se llama inscrita y toca cada lado del poligono en el punto medio.

EL RADIO de la circunferencia circunscrita es tambien el radio del poligono.

El radio de la circunferencia inscrita es el apotema del poligono.

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T457)/Presentación1(T457)_archivos/slide0003.htm

CLASIFICACION DE POLIGONOS:

Los poligonos se clasifican en base a tres criterios:

1) segun el numero de lados

2)segun el numero de angulos

3) segun la relacion entre angulos y lados

CLASIFICACION DE POLIGOS SEGUN LA CANTIDAD DE LADOS:

NOMBRES

triangulo 3

cuadrilatero 4

pentagono 5

hexagono 6

heptagono 7

octagono 8

eneagono 9

decagono 10

endecagono 11

dodecagono 12

tridecagono 13

tetradecagono 14

pentadecagono 15

hexadecagono 16

heptadecagono 17

octadecagono 18

eneadecagono 19

icosagono 20

Perimetro y Area

PERIMETRO: determina la magnitud de las fronteras de una cuerpo geometrico.

AREA: es la superficie inserta en el perimetro.

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T551)/Presentación1(T551)_archivos/slide0003.htm

3er Parcial. Circunferencia

la circunferencia es una figura plana y cerrada formada por equidistantes de un punto llamado centro.

dentro de una circunferencia encontramos:

-cuerda

-diametro

-secante

-tangente

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación2(T83)/Presentación2(T83)_archivos/slide0003.htm

CUERDA:

se llama cuerda a todo segmento rectilineo que une dos puntos de una circunferencia y cuya magnitud es igual a la minima distancia entre dichos numeros.

DIAMETRO:

se llama diametro a toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

SECANTE:

una secante es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

TANGENTE:

una tangente a una circunferencia es una recta, en el mismo plano, que toca a la circunferencia en un solo punto.

Hay un teorema para trazar la tangente a una circunferencia, toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto de contacto.

Los angulos relacionados a la circunferencia.

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T395)/Presentación1(T395)_archivos/slide0003.htm

ANGULO CENTRAL: es el que tiene su vertice en el centro de la circunferencia y los lados son su radio.

ANGULO INTERIOR: es el que tiene su vertice en el interior de la circunferencia.

ANGULO INSCRITO: es el que tiene su vertice en la circunferencia y esta formado por dos cuerdas.

file:///Users/MAYI/Library/Caches/TemporaryItems/Presentación1(T343)/Presentación1(T343)_archivos/slide0003.htm

ANGULO SEMINCRITO: es el que tiene su vertice en la circunferencia y esta formado por una cuerda y una tangente.

ANGULO EXTERIOR: es el que tiene su vertice en el exterior de la circunferencia y esta formado por dos secantes, por una secante y una tangente, o por dos tangentes.

LEY DE LOS SENOS Y COCENOS

En todo triangulo rectangulo los lados son proporcionales a sus angulos opuestos.
a = b = c
sen(alfa) = sen(beta) = sen(alfa)
Donde alfa beta y gama son los angulos del triangulos de ABC son las longitudes de sus angulos.
DE DONDE:
a = sen(alfa) = sen(beta) = c = sen(gama)
b = sen(beta) =sen(gama) = a =sen(alfa)

Resolver un triangulo significa:
No todos los triangulos oblicuangulos se pueden resolver con la ley de los senos para eso utilizamos la ley de los cocenos.
En general cuando nos proporcionan dos angulos y un lado o dos lados y un angulo.

La ley de los cenos:
Ley de los senos que se aplica en la solucion de los angulos traingulos oblicuangulos y se explica de la siguiente manera.

Ley de los cenos: en todo triangulo son proporcionales a los cenos de sus angulos opuestos

Resolver el triangulo ABC a = 62.5 (alfa) 112° 20¨ (alfa) =42° 10¨

Solucion or la ley de los cenos

DATOS INCOGNITAS
A = 62.5 B
ALFA =112°20¨ b
GAMA=42° 10" c

La suma de los angulos anteriores de un triangulo es 180°

B = 180° -(alfa=gama)
B =180°-(112°20+ 42° 10)
B = 25° 30

Aplicando la ley de los senos

a = sen alfa b= a sen beta
b = sen beta sen alfa

b= a sen beta 62.5 sen 25°30 b=62.5(.4305)/.9250= 29.1
sen alfa sen 112° 20

Se aplica la ley de los senos para C

c= sen gama c= a sen gama
a= sen gama sen alfa c= 62.5(.67/3) =45
.9250

c= 62.5 sen 42°10
sen 112° 20

Identidades Pitagoricas

La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numericos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los simbolos operativos.

Para las funciones trigonometricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.

Identidades reciprocas

1) sen- cos=1

2)cos-sec=1

3)tan-cot=1

Identidades de Divisiòn

4)tan=sen/cos

5)cot=cos/sen

Identidades Pitagoricas

6)sen2 + cos2 =1

7)1 + tan2=sec2

8)1 + cot2=csc2

Identidad Pitagorica

si el lado ternimal del angulo x esta en el primer cuadrante.

sen=y/d=3/5

tan=y/x=3/4

si el lado terminal del angulo esta en el cuarto cuadrante

sen=y/d=-3/5

tan=y/x=-3/4

Ejercicio:

1)Dado tan=-3/4 encontrar se y cos.

tan=-3/4=y/x ordenada/obscisa

x=-4

raiz -3(2)+4(2)

+-raiz 9+16

+-raiz 25

=+- 5

sen=y/d= ordenada/distancia=3/5=3/5

cos=x/d=obscisa/distancia=-4/5=-4/-5=4/5

2) calcula las funciones trigonometricas del angulo B , cuyo lado terminal esta en el punto

B(2,-3)

c2=a2+b2

c2=2(2)+(-3)(2)

c2=4+9

c2=13

c2=raiz 13

c=3.6

tan=cat op/cat ady=-3/2=1.5

sen= cat op/hip=y/d=-3/3.6=0.83

csc= hip/cat op=d/y=3.6/-3=1.3

sec=hip/cat ady=d/x=3.6/2=1.8

cot=cat ady/cat op= x/y=2/-3=0.66

tan=cat op/cat ady=y/x=-3/2=-1.5

Tarea:

Algebra y trigonometria

Ortiz Campos

Bac E, 3 88937

Identidad pitagorica?

se cumplen para cualquier valor del angulo que aparece en una igualdad. Todas estas involucran funciones trigonometricas para cualquier valor de la variable.

Bibliografia

Trigonometria plana y esferica

Editorial Uteha union tipografica

hispanoamericana

Funciones Trigonometricas Inversas

Signos de las funciones trigonometricas,para encontrar los signos de las funciones trigonometricas en los diferentes cuadrantes debemos comenzar por considerar que la distancia de cualquier punto al origen siempre sera positiva.

CUADRANTES

1er 2do 3er 4to

cuadrante cuadrante cuadrante cuadrante

seno + + - -

y coseno

coseno + - - +

y secante

tangente + - + -

y contangente

Razones 150,210,330 son iguales en 30

trigonometricas de 120,240,300 valor a los angulos 60

los angulos de 135,225,315 de 45

Razones trigonometricas de un angulo en general.

sen=ordenada/distancia=y/d

cos=obscisa/distancia=x/d

tan=ordena/obscisa=y/x

csc=distancia/ordenada=d/y

sec=distancia/obscisa=d/x

cot=obscisa/ordenada=x/y

Calculo de los Valores 30º,45º,60º.

Para determinar las razones trigonometricas de los angulos de 30º y 60º, se traza un triangulo equilatero ABD de dos unidades por lado,con una unidad de longitud adecuada;por ejemplo;enseguida se traza una perpendicular a la base del segmentoAD del triangulo desde el vertice D.

Cada uno de los angulos de un triangulo equilatero tiene un valor de 60º asi, que dividimos uno de sus angulos a la mitad,tendremos de 30º en cada triangulo formado los valores de los angulos internos de cada triangulo congruente son 30º+60º+90+=180

De la definicion de las razones trigonometricas para un angulo agudo.

sen 60º=raiz 3/2=cos 30º

cos60º=1/2=sen 30º

tan 60º=raiz 3/1=raiz 3=cot 30º

cat 60º=1/raiz 3=tan 30º

sec 60º=2/1=2=csc 30º

csc 60º=2/raiz 3=sec 30º

De las definiciones de las razones trigonometricas para un angulo agudo.

sen 45º=1/raiz 2=raiz 2/2

cos 45º=1/raiz 2=raiz 2/2

tan 45º=1/1=1

cat 45º=1/1=1

sec 45º=raiz 2/1=raiz 2

csc 45º=raiz 2/1=raiz 2

Funciones Trigonometricas Inversas

Cuando conocemos el valor de una de las funciones trigonometricas es muy frecuente que se necesite la medida del angulo.

La expresiòn cos-1B se denomina coceno inverso del angulo B y nos sirve para encontrar la medida del angulo x, en el cual el valor de la funcion coseno es B es decir x=cos-1B donde "x" en un angulo.

Es importante recalcar que el numero -1 no es un exponente,significa que nos referimos a la funciòn inversa.

Encuentra el angulo G si la tan=0.5

tanG=0.5

G=tan-1 0.5

G=26.57º

1)Tono esta parado en la playa,cuando el angulo de elevacion del sol es de 31º,quiere saber cuanto mide la sombra que proyecta en base a los 1.80m que mide,¿cuanto mide la longitud de la sombra?

tan31º=co/ca

tan31º=1.80/b

tan31(b)=1.80

b=1.80/tan31=2.99

2)Encuentra la medida del angulo ACB en el siguiente triangulo si AB=16 y BC=10

tan=16/10

tan=1.6

x=tan-1 1.6

x=58

3) Si la sec=A=6, obten las demas funciones trigonometricas

sec=hip/cat ady a2=b2-c2

sec=5.9/6=0.98 a2=6(2)-1(2)

cos=1/6=1.6 a2=36-1

tan=5.0/1=5.9 a2=35

csc=6/5.9=1.01 a2=raiz 35

cot=1/5.9=0.16 a=5.9

Funcion Trigonometrica

z=hipotenusa

y=cateto opuesto

x=cateto adyasente

un funciones la razon directa entre dos cantidades. Las funciones que se forman son las razones que existen "X" y "Y" , "X" y "Z" o entre "Y" y "Z".

-Funciones Directas-

seno =cat op/hip

coseno=cat op/hip

tangente=cat op/cat ady

-Funciones Recipocras-

cosecante=hip/cat op

secante=hip/cat ady

contangente=cat ady/cat op

Ejecicio 1:

Dado un triangulo rectangulo de catetos 6 y 8,calcular las funciones trigonometricas del angulo x.

c2=a+b

c2=raiz 8(2)+6(2)

c2=raiz 64+36

c=10

sen=8/10=0.8

cos=6/10=0.6

tan=8/6=1.33

se=10/6=1.66

csc=10/8=1.25

cot=6/8=0.75

En un triangulo rectangulo ABC, encuentra las funciones "trigonometricas" de los angulos B y C si sus catetos miden 2 y 4.

seno b=2/4.4=0.45 sec c=2/20=0.1

cos b=4/4.4=0.90 cos c=4/20=0.2

tan b=2/4=0.5 tan c=2/4=0.5

csc b=4.4/2=2.2 sec c=20/4=5

sec b=4.4/4=1.1 cot c=4/2=0.2

cot b=4/2=2

Un aviòn esta a 1km por encima del nivel del mar,cuando comienza a elevarse en un angulo que no varia de 2º.Durante los siguientes 70 km,medidos sobre el nivel del mar (snm) ¿a que altura estara el aviòn snm cuando llegue al pinto de los 70km?

tan2º=co/ca

tan2º=h/70

70·tan2º=h

2.44=h

h=2.44 km

Congruencia

1) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido.

Lado Angulo Lado (LAL)

2)Dos triangulos son congruentes si tienen perspectivamente congruentes dos angulos y el lado compartido.

Angulo Lado Angulo (ALA)

3) Dos trienagulos son congruentes cuando los tres lados de uno son perspectivamente iguales a los tres del otro.

Lado Lado Lado (LLL)

EJERCICIO

a) 50 cm , 30 cm y 45º

b)50 cm, 30 cm y 45º 45º 50 cm y 30 cm

c) 30 cm 50 cm 45º

De los cuatro triagulos,identificar cuales son congruentes y cual es la regla que se aplica.

a) y c) con la regla numero 1... LAL

Los triangulos 1 y 2 son congruentes donde

cuales son los valores de "x" "y" y de cada angulo?

y-5=42 y=42+5 y=47

x+20=26 x=26-20 x=6

Ejercicios de pagina 103

a)c2=a2+b2

c2=5"2"+6"2"

c2=25+36

c2=61

c2=raiz 61

c=7.8

b)c2=a2+b2

c2=4"2"+4"2"

c2=16+16

c2=32

c2=raiz 32

c2=5.6

c)8"2"=3"2"+b2

b2=8"2" - 3"2"

b2=64 - 9

b2=55

b2= raiz 55

b=7.4

d)c2=a2+b2

c2=15"2"+6"2"

c2=225+36

c2=261

c2=raiz 261

c=16.15

e)c2=a2+b2

c2=30"2"+20"2"

c2=900+400

c2=1300

c2=raiz 1300

c=36.05

f)c2=a2+b2

c2=36"2"+25"2"

c2=1296+625

c2=1921

c2=raiz 1921

c=43.82

g)c2=a2+b2

c2=29"2"+29"2"

c2=841+841

c2=1682

c2= raiz 1682

c=41.01

h)c2=a2+b2

b2=38"2" - 34"2"

b2=1444 - 1156

b2=288

b2=raiz 288

b=16.97

i)c2=a2+b2

c2=21"2"+28"2"

c2=441+784

c2=1225

c2=raiz 1225

c=35

En la figura BC es es paralelo a DE.... cuanto mide AE? AE=13

AB=10m c2=a2+b2 c2=a2+b2

AD=3m b2=13"2" - 3"2" b2=20"2" - 10"2"

AC=20m b2=169 - 9 b2=400 - 100

b2=160 b2=300

b2=raiz 160 b2= raiz 300

b=12.64 b2=17.32

Triangulos Semejantes

1)Dado un triangulo recto con un angulo de 65º,calcular los otros dos angulos.

r+b+r=180º

65º+90º+r=180º

65º+90º+25º=180º

2) Encuentra el angulo de un triangulo equivalente de lado 10.

Formula=b·h/2

c2=a2+b2 a=10·8.6/2

10"2"=5"2"+b2 a=86/2

b2=10"2" - 5"2" a=43

b2=100-25

b2=75

b2=raiz 75

b=8.6

3) En la siguiente figura, si el area del triangulo ABC es de 45cm2, cual es la longitud de DB?

c2=a"2" + b"2" a=45 a=b·h/2 45=b·6/2 b=45·2/6

c2=10"2"+6"2" 45·2=90 15-8=7

c2=100-36 90/6=15

c2=64 Segmento DB=7

c2=raiz 64

c2=8 AD=8

Principales Teoremas

1) la suma de los tres angulos interiores de todo triangulo es igual a 180º

a+b+c=180º

2) en todo triangulo isosceles los angulos opuestos a los lados iguales son iguales.

a=b

c=b

3) la suma de dos lados cuales quiera de un triangulo,es mayor que el tercer lado y la diferencia menor.

a+b>c, a+c>b, b+c>a

a-b

b-c

Teorema de Pitagoras

Teorema de pitagoras que relaciona los catetos y la hipotenusa de todo triangulo rectangulo, se enuncia como sigue:

"EN UN TRIANGULO RECTANGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS."

C2 = A2 + B2

C2= 12"2" + 16"2"

C2=144+256

C2=400

C=raiz 400 C=20

1)En un triangulo rectangulo ABC, c=hipotenusa a y b son los catetos.

Si a=24 y c=25 cuanto vale b?

C2=a2 + b2

C2-a2=b2

b2=25"2" - 24"2"

b2= 625-576

b2=49

b=raiz 49 b=7

2) Una persona camina 7km hacia el norte,3km hacia el este y 3km hacia el sur.A que distancia se encuentra del punto de partida?

c2=a2+b2

c2=4"2" + 3"2"

c2=6+9=25

c2= raiz 25 c=5

Ejercicio:

Un triangulo rectangulo ABC encuentra el lado cuyo valor se desconose.

a) si a=5, b=12 c=8 Formula:C2=A2+B2

b) si a=8, b=17 c=?

c) si b=8, c=10 a=?

a) c2=5"2" +12"2"

c2=25 + 144

c2=169

c=raiz 169

c=13

b) b2=c2-a2

b2=a2+c2

b2=17"2" - 8"2"

b2=289 - 64

b2=225

b2=raiz 225

b=13

c) a2=c2 - b2

a2=8+10

a2=64-100

a2=36

a=raiz 36

a=6

En un triangulo rectangulo donde el angulo recto es igual a C, el cateto adyacente es igual a 15 y la hipotenusa es igual a 17.Encuentra el cateto opuesto.

c2=a2+b2

b2=c2 - a2

b2=17"2" - 15"2"

b2=289 - 225

b2=64

b=raiz 64

b=8

Cuanto mide la altura de un triangulo isosceles, si sus lados iguales miden 10m y su base 12m.

b2=a2 +c2

b2=6"2" + 10"2"

b2=36 - 100

b2=64

b=raiz 64

b=8

Una persona camina 1 milla hacia el norte,2 millas hacia el este, 3 millas hacia el norte y 4 millas hacia el este.A que distancia se encuentra del punto de partida.

c2=a2 + b2 c2=a2 + b2

c2=1"2" + 2"2" c2=3"2" + 4"2"

c2=1+4 c2=9 + 16

c2= 5 c2= 25

c2= raiz 5 c2=raiz 25

c= 2.2 c=5

h= 2.2+5= 7.2

sábado, 27 de febrero de 2010

APUNTES DE MATEMATICAS

BLOQUE 1
TRIANGULOS ANGULOS
*Conceptos geometricos
*Definicion de angulo
*Clasificacion de angulos
*Teorema de la suma de las medidas de los angulos internos de un triangulo
1Dos puntos determinan una recta
2Una recta es la distancia mas corta entre dos puntos
3Una recta puede ser prolongada indifinidamente en ambos sentidos
4Dado un segmento hay un punto uno que lo divide en dos partes
5Dado un angulo hay una semirecta y solo una que lo divide en dos partes iguales (bizectriz)
6Por u n punto de una recta se puede trazar una perpendicular y solamente una
7Una figura geomatrica puede moverse sin cambiar de tamaño ni forma
8Por un punto exterior a una recta se puede trazar a ella una perpendicular y solo una
9Por una punto exterior a una recta se puede tarzar a ella uno paralelo y solamente una
10Si una recta corta a una de dos rectas paralelas corta a otra
11Dos rectas en un plano son paralelas o tiene un solo punto en comun
12Todos los angulos rectos son iguales
13Dos rectas en un plano o son paralelas o se cortan en un solo punto comun

EL PUNTO GEOMETRICO

El punto geometrico no tiene dimencion La recta se representa
Las lineas racyas solo tiene longitud
Dos rectas en el plano puede encontrarse en la sig. posiciones : paralelas, perpendiculares, oblicuas.
PARALELAS: dos rectas en el plano son paralelas cuando la distancia entre ellas es constante.
PERPENDICULARES:dos rectas en el plano son perpendiculares cuando al intersectarse forman un angulo recto.
OBLICUAS:dos rectas no paralelas en el plano son oblicuas cuando al intersectarse no forman un angulo recto es decir cuando no son perpendiculares.
OBLICUAS PARALELAS PERPENDICULARES




A los puntos A Y B se les llama extremos del segmento.
El segmento se denota mediante dos letras mayusculas colocadas en un extremo o bien con una letra minuscula en medio de un trazo.




ANGULOS

Angulo es la abertura entre dos rectas que se intersectan en uun punto llamado vertice.
Los angulos se clasifican se dividen en 3 medidas.

• por sus medidas
  
• por la suma de sus medidas
• por la posicion de sus medidas

MEDIDAS DE LOS ANGULOS

AGUDO: es el angulo cuyo valor es igual a o° o menor de 90° < 0° - 90° RECTO: este tiene un valor de 90° OBTUSO: este tipo de angulos se divide 90° y 180° LLANO: este tipo de angulo equivale a dos angulos rectos 180°

• angulo por la suma de sus medidas
• angulos adyesentes cuando dos angulos
  
• un lado comun y un mismo vertice
  
• angulos opuestos por un vertice en este caso se cumple la congruencia entre dos angulos
  
• angulos complementarios cuando la suma de los angulos da como resultado 90°
  
• los angulos suplementarios da como resultado 180° y por la posicion de sus angulos son angulos opuestos por el vertice.
  

ANGULOS



oblicuas


paralelas


perpendiculares




En los segmentos de recta traza las paralelas por los puntos dados




En los segmentos trazar rectas perpendiculares
Por un punto fuera de la recta Por un punto en la recta


A|_______|P_______|B C|________|________|D



TRIANGULOS

Poligonos de 3 lados
figuras rectilineas son las limitadas por rectas
TRILATERAS: si lo estan por 3 cuadrilateras si lo estan por cuatro y cuadrelateros si lo estan por mas de cuatro. Entre las figuras trilateras el triangulo equilatero si tiene 3 lados iguales.
ISOSCELES: si solo tiene dos lados iguales
ESCALENO: si sus tres lados son diferentes .La suma de los angulos internos de cualquier triangulo siempre es 180°

TRIANGULO EQUILATERO:

trodos los lados o angulos son iguales en magnitud

TRIANGULO ISOSCELES:

dos de sus lados y angulos tiene la misma magnitud

TRIANGULOS ESCALENO:

todos los lados o angulos tiene magnitudes diferentes


SEGUN SUS ANGULOS

TRIANGULO ACUTANGULO:

es el que tiene los tres angulos agudos

TRIANGULO OBSTUSANGULO:

es el que tiene un angulo obtuso

TRIANGULO RECTANGULO

es aquel que en dos de sus lados forman un angulo recto los lados del triangulo reciben nombres especiales (hipotenusa, cateto optuso, cateto adyesente)

HIPOTENUSA: es el lado opuesto al angulo recto y es el lado mas largo del triangulo
CATETOS: son los lados que forman un angulo recto






EJERCICIOS

1 Calcula los lados y los angulos faltantes en cada triangulo de acuerdo con su clasificacion

a) triangulo equilatero





b)triangulo isosceles





2 Clasifiquense estos triangulos en escaleno isosceles o equilatero





3 Calcula cada uno de sus angulos


45+90=135 180-135=45 R=045°


4 El triangulo rectangulo tiene tres lados de diferentes magnitudes calcula los angulos e identifica cual es la hipotenusa cateto opuesto y cateto adyesente


<1 la suma de los angulos interiores 180° <2=90° <3=30° 90°+30°=120° 180°+120°=060 1 TRIANGULOS ANGULOS A+B+C=180° 2x+4x+3x=9x=180° x=180/9 x=20 SUSTITUCION x=20 A=2x A=2(20)=40 B=4x B=4(20)=80 C=3x C=3(20)=60 A=40° B=80° C=60° 2 A+B+C=180° 60+40+80=180° Encuentra la medida del angulo "x" 3 75+40=115° 180-115=065° A=65° B=40° C=75° 75+40+x=180° x=75+40-180 x=065 4 encuentra la medida de los angulos del sig. triangulo isosceles x+x+x+30=180° 3x+30=180° 3x=180°-30 A=50° 3x=150° x+30=80 B=50° =180° x=150°/3 x=50 =180 C=80° x=50 x=50

BLOQUE 2

CONGRUENCIA

Figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y mismo tamaño de manera que al colocar una sobre otra coinsiden en sus partes correspondientes.
Dos triangulos son iguales si al colocar uno sobre el otro coinsiden en todas sus partes
Lados y angulos que coinsiden se llaman homologos o correspondientes. Los triangulos congruentes tiene la misma forma e igual tamaño.
Tres reglas de congruencia:

1 Dos triangulos son congruentes si tiene respectivamente congruentes dos lados y el angulo comprendido

= A B = D E
A C = D F

2 Dos triangulos son congruentes si tiene respectivamente congruentes dos angulos y el lado comprendido

= A B = D E

3 Dos triangulos son congruentes cuendo los tres lados de uno son respectivamente iguales a los tres lados del otro

= AB=DE

AC=DF
CB=FE



EJEMPLO





2





3

APUNTES DE MATEMATICAS

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